Question

不等式a²-3a≤|x+3|+|bx-4|（其中b∈[0，1]）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．（-∞，-1]∪[4，+∞）
B．[-1，4]
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

Answer 1

【答案】分析：令函數(shù)f（x）=|x+3|+|bx-4|=|x+3|+b|x-|，則由題意可得 f_min（x）≥a²-3a．而 f_min（x）=f（-3）=|3b+4|≥4，故有4≥a²-3a，即（a-4）（a+1）≤0，由此求得
實(shí)數(shù)a的取值范圍
解答：解：令函數(shù)f（x）=|x+3|+|bx-4|=|x+3|+b|x-|，則由不等式a²-3a≤|x+3|+|bx-4|（其中b∈[0，1]）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
可得 f_min（x）≥a²-3a．
結(jié)合函數(shù)f（x）= 的圖象，可得
 f_min（x）=f（-3）=|3b+4|≥4，∴4≥a²-3a，即（a-4）（a+1）≤0，解得-1≤a≤4，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，絕對(duì)值不等式的解法，求出函數(shù)f（x）的最小值，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，注意函數(shù)f（x）=a|x-m|+b|x-n|，
當(dāng)a＞b時(shí)，f（m）最小，當(dāng)a＜b時(shí)，f（n）最小，當(dāng)a=b時(shí)，f（m）=f（n）最小． 屬于中檔題．