Question

已知函數(shù)f（x）=x（e^x-1）-ax²．
（Ⅰ）若f（x）在x=-1時(shí)有極值，求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f'（x）=e^x-1+xe^x-2ax．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）法一：令g（x）=x^a-1-ax，則g'（x）=e^x-a．由此利用分類(lèi)討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）法二：當(dāng)x≥0時(shí)，x（e^x-1）≥ax²．由此利用分類(lèi)討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：f'（x）=e^x-1+xe^x-2ax．由f'（-1）=0得，a=

1

2

…2分
當(dāng)

AC

=

BD

時(shí)，f(x)=x(ex-1)-

1

2

x2，
f'（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（x+1）
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）單調(diào)增加，在（-1，0）單調(diào)減少，
則f（x）在x=-1時(shí)有極小值，所以a=

1

2

，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0）．…6分
（Ⅱ）解法一：f（x）=x（x^a-1-ax）．
令g（x）=x^a-1-ax，則g'（x）=e^x-a．
若a≤1，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）為減函數(shù)，
而g（0）=0，從而當(dāng)x≥0時(shí)g（x）≥0，即f（x）≥0．…9分
若a＞1，則當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
而g（0）=0，從而當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)g（x）＜0，即f（x）＜0．…11分
綜合得a的取值范圍為（-∞，1]…12分
（Ⅱ）解法二：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，即x（e^x-1）≥ax²．
①當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；                                  …7分
②當(dāng)x＞0時(shí)，x（e^x-1）≥ax²等價(jià)于e^x-1≥ax，也即a≤

ex-1

x

．
記g(x)=

ex-1

x

，x∈（0，+∞），
則g′(x)=

(x-1)ex+1

x

．…8分
記h（x）=（x-1）e^x+1，x∈（0，+∞），
則h′（x）=xe^x＞0，因此h（x）=（x-1）e^x+1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
且h（x）＞h（0）=0，所以g′(x)=

h(x)

x

＞0，
從而g(x)=

ex-1

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…9分
由洛必達(dá)法則有

lim

x→0

g(x)=

lim

x→0

ex-1

x

=

lim

x→0

ex

1

=1，
即當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→1
所以g（x）＞1，即有a≤1．…11分
綜上①、②所述，a的取值范圍為（-∞，1]…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．