Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點(diǎn)，DC=2BD，則

AD

•

BC

=

 

．

Answer 1

分析：法一：選定基向量

AB

，

AC

將兩向量

AD

，

BC

，用基向量表示出來(lái)，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，求出

AD

•

BC

的值．
法二：由余弦定理得可得分別求得BC=

7

，AD=

13

3

，
又

AD

，

BC

夾角大小為∠ADB，cos∠ADB=

BD2+AD2-AB2

2×BD×AD

=-

32

9

×

9

4 13 × 7

=-

8

91

，
所以

AD

•

BC

=AD×BC×cos∠ADB=-

8

3

．

解答：解：法一：選定基向量

AB

，

AC

，由圖及題意得

BC

=

AC

- 

AB

，

AD

=

AB

+

1

3

BC

=

1

3

AC

+

2

3

AB

∴

AD

•

BC

=（

AC

-

AB

）（

1

3

AC

+

2

3

AB

）=

1

3

AC

 2-

2

3

AB

 2+

1

3

AC

•

AB

=

1

3

×1-

2

3

×4+

1

3

×1×2×(-

1

2

)=-

8

3

法二：由題意可得
cosA=

AB2+AC2-BC2

2×AB×AC

=

AB2+AD2-BD2

2×AB×BD

BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA=4+1+2=7，
∴BC=

7

，
∴cosB=

AB2+BC2-AC2

2•AB•BC

=

4+7-1

2×2× 7

=

5

2 7

AD=

AB2+BD2-2AB•AD•cosB

=

13

3

，
∵cos∠ADB=

BD2+AD2-AB2

2×BD×AD

=-

32

9

×

9

4 13 × 7

=-

8

91

，
∴

AD

•

BC

=AD×BC×cos∠ADB=-

8

3

．
故答案為：-

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦定理和向量數(shù)量積的應(yīng)用．向量和三角函數(shù)的綜合題是高考熱點(diǎn)，要給予重視．