Question

選修4-5：不等式選講：
設(shè)函數(shù)f(x)=

|ax-2|+|ax-a|-2

(a∈R)．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域為R，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知：|x-2|+|x-1|-2≥0，由此能求出a=1時，函數(shù)f（x）的定義域．
（2）由題設(shè)知，當x∈R時，恒有|ax-2|+|ax-a|-2≥0，即|ax-2|+|ax-a|≥2恒成立，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）由題設(shè)知：|x-2|+|x-1|-2≥0等價于：

x≤1 -x+2-x+1-2≥0

⇒x≤

1

2

，
或

1＜x＜2 -x+2+x-1-2≥0

⇒x∈∅，
或

x≥2 x-2+x-1-2≥0

⇒x≥

5

2

，
綜上所述，當a=1時，函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，

1

2

]∪[

5

2

，+∞）．
（2）由題設(shè)知，當x∈R時，恒有|ax-2|+|ax-a|-2≥0，
即|ax-2|+|ax-a|≥2恒成立，
∵|ax-2|+|ax-a|≥|（ax-2）-（ax-a）|=|a-2|，
∴只需|a-2|≥2，
解得a≤0，或a≥4．

點評：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意含絕對值不等式的性質(zhì)及其應用．