Question

設函數y=f（x）=

1-x2

+a（

1-x

+

1+x

），a∈R
（Ⅰ）設t=

1-x

+

1+x

，把y表示成t的函數，并求出t的取值范圍；
（Ⅱ）設f（x）的最小值為g（a），求g（a）的解析式，并求g（a）的值域．

Answer 1

分析：（I）對t=

1-x

+

1+x

兩邊同時平方可得t與x的關系，代入已知函數中即可求解f（t），
（2）由（I）可得f（t）與t的關系及t的范圍，然后結合二次函數的性質可求函數的最小值g（a）

解答：解：（I）由t=

1-x

+

1+x

兩邊同時平方可得，t2=1-x+1+x+2

1-x2

=2+2

1-x2

∴

1-x2

=

t2-2

2

∵f（x）=

1-x2

+a（

1-x

+

1+x

）
=

t2-2

2

+at=

1

2

t2+at-1
∵0≤1-x²≤1
∴2≤t²≤4且t＞0
∴

2

≤t≤4
∴y=f（t）=

1

2

t2+at-1，t∈[

2

，2]
（II）∵y=f（t）=

1

2

t2+at-1，t∈[

2

，2]
=

1

2

(t2+2at+a2)-1-

1

2

a2=

1

2

(t+a)2-1-

1

2

a2
①當-a≥2即a≤-2時，函數f（t）在[

2

，2]單調遞減，g（a）=f（2）=2a+1≤-3
②當-a≤

2

即a≥-

2

時，函數f（t）在[

2

，2]單調遞增，g（a）=f（

2

）=

2

a≥-2
③當

2

＜-a＜2即-2＜a＜-

2

時，g（a）=f（-a）=-1-

1

2

a2∈（-3，-2）
根據分段函數的性質可知，分段函數的值域是各段函數值域的并集
∴g（a）的值域為R

點評：本題主要考查了換元法在求解函數值域中的應用，二次函數在閉區(qū)間上最值的求解，體現了分類討論思想的應用．