Question

已知(x

x

+

2

3 x

)n的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為37．
（1）求x的整數(shù)次冪的項(xiàng)；
（2）分別求出展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

（1）由題意，(x

x

+

2

3 x

)n的展開(kāi)式的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為C_n⁰+C_n¹+C_n²=37
∴n²+n-72=0，∴n=8
∴知(x

x

+

2

3 x

)n的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=

C

r8

x12-

11r

6

當(dāng)r=0，6時(shí)，x的指數(shù)為整數(shù)
∴x的整數(shù)次冪的項(xiàng)有x¹²，28x；
（2）設(shè)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則

C r8 ≥ C r-18 C r8 ≥ C r+18

∴

7

2

≤r≤

9

2

，∴r=4
∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)，為70x

14

3

；
展開(kāi)式共有9項(xiàng)，據(jù)展開(kāi)式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)，為70x

14

3

．