Question

已知(x

x

+

2

3 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為37．
（1）求x的整數(shù)次冪的項(xiàng)；
（2）分別求出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用(x

x

+

2

3 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為37，建立方程求得n，利用展開式的通項(xiàng)，即可求x的整數(shù)次冪的項(xiàng)；
（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式根據(jù)展開式中最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時(shí)大于它后面的系數(shù)求出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；據(jù)展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）由題意，(x

x

+

2

3 x

)n的展開式的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為C_n⁰+C_n¹+C_n²=37
∴n²+n-72=0，∴n=8
∴知(x

x

+

2

3 x

)n的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=

C

r 8

x12-

11r

6

當(dāng)r=0，6時(shí)，x的指數(shù)為整數(shù)
∴x的整數(shù)次冪的項(xiàng)有x¹²，28x；
（2）設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則

C r 8 ≥ C r-1 8 C r 8 ≥ C r+1 8

∴

7

2

≤r≤

9

2

，∴r=4
∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)，為70x

14

3

；
展開式共有9項(xiàng)，據(jù)展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)，為70x

14

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題以二項(xiàng)式為載體，考查考展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)，考查二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)的求法，利用最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時(shí)大于它后面的系數(shù)是求二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)的關(guān)鍵