Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）用定義證明f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）求出f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上任意兩實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，再用作差法比較f（x₁）與f（x₂）的大小，作差時(shí)，需要把差變形為幾個(gè)因式的乘積的形式，再判斷每個(gè)因式的符號(hào)，最后得出結(jié)論即可．
（2）先根據(jù)x＞0時(shí)函數(shù)的解析式求出x＜0時(shí)函數(shù)的解析式，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以f（0）=0，因?yàn)楫?dāng)x的取值范圍不同時(shí)，函數(shù)解析式不同，所以函數(shù)為分段函數(shù)，把每段的解析式寫出，就得到f（x）在R上的解析式．

解答：解：（1）設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上任意兩實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂　
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

2x14x2+2x1-2x24x1-2x2

(4x1+1)(4x2+1)

=

2x1+2x2 +2x1-2x2+2x1 -2x2

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1+x2 -1)(2x2  -2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵x₁，x₂是（0，+∞）上任意兩實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
∴2x1+x2-1＞0，2x2-2x1＞0，4x1+1 ＞0，4x2+1 ＞0
∴

(2x1+x2 -1)(2x2  -2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f(-x)=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

又∵f（0）=0
∴f(x)=

2x 4x+1 (x＞0) 0(x=0) - 2x 4x+1 (x＜0)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，以及利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式，屬于函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用．