【題目】已知數(shù)列{an}滿足:an≠0,a1= ,an﹣an+1=2anan+1 . (n∈N*).
(1)求證:{ }是等差數(shù)列,并求出an;
(2)證明:a1a2+a2a3+…+anan+1< .
【答案】
(1)證明:a1= ,an﹣an+1=2anan+1.可得
﹣ =2,則{ }是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,
= +2(n﹣1)=3+2(n﹣1)=2n+1,
即有an=
(2)證明:a1a2+a2a3+…+anan+1= + +…+
= ( ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
= ( ﹣ )= ﹣ <
【解析】(1)兩邊除以anan+1 , 由等差數(shù)列的定義和通項公式,即可得證,由等差數(shù)列的通項公式即可得到;(2)運用數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,運用不等式的性質,即可得證.
【考點精析】認真審題,首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系),還要掌握數(shù)列的通項公式(如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵.
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【題目】將函數(shù)y=sin(2x﹣ )圖象向左平移 個單位,所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程是( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=﹣
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【題目】電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調查,下面是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方
圖:
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料,在犯錯誤的概率不超過的前提下,你是否有理由認為“體育迷”與性別有關?
非體育迷 | 體育迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計 |
(Ⅱ)將上述調查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為.若每次抽取的結果是相互獨立的,求的分布列,期望和方差.
附:
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【題目】某省高考改革新方案,不分文理科,高考成績實行“”的構成模式,第一個“3”是語文、數(shù)學、外語,每門滿分150分,第二個“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6個科目中自主選擇其中3個科目參加等級性考試,每門滿分100分,高考錄取成績卷面總分滿分750分.為了調查學生對物理、化學、生物的選考情況,將“某市某一屆學生在物理、化學、生物三個科目中至少選考一科的學生”記作學生群體,從學生群體中隨機抽取了50名學生進行調查,他們選考物理,化學,生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如下表:
(I)從所調查的50名學生中任選2名,求他們選考物理、化學、生物科目數(shù)量不相等的概率;
(II)從所調查的50名學生中任選2名,記表示這2名學生選考物理、化學、生物的科目數(shù)量之差的絕對值,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望;
(III)將頻率視為概率,現(xiàn)從學生群體中隨機抽取4名學生,記其中恰好選考物理、化學、生物中的兩科目的學生數(shù)記作,求事件“”的概率.
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【題目】某單位招聘職工分為筆試和面試兩個環(huán)節(jié),將筆試成績合格(滿分100分,及格60分,精確到個位數(shù))的應聘者進行統(tǒng)計,得到如下的頻率分布表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[60,70] | 0.16 | |
(70,80] | 22 | |
(80,90] | 14 | 0.28 |
(90,100] | ||
合計 | 50 | 1 |
(Ⅰ)確定表中的值(直接寫出結果,不必寫過程)
(Ⅱ)面試規(guī)定,筆試成績在80分(不含80分)以上者可以進入面試環(huán)節(jié),面試時又要分兩關,首先面試官依次提出4個問題供選手回答,并規(guī)定,答對2道題就終止回答,通過第一關可以進入下一關,如果前三題均沒有答對,則不再回答第四題并且不能進入下一關,假定某選手獲得面試資格的概率與答對每道題的概率相等.
求該選手答完3道題而通過第一關的概率;
記該選手在面試第一關中的答題個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】已知橢圓的中心和拋物線的頂點都在坐標原點, 和有公共焦點,點在軸正半軸上,且的長軸長、短軸長及點到直線的距離成等比數(shù)列。
(Ⅰ)當的準線與直線的距離為時,求及的方程;
(Ⅱ)設過點且斜率為的直線交于, 兩點,交于, 兩點。當時,求的值。
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【題目】已知冪函數(shù)f(x)=x(2﹣k)(1+k)(k∈Z),且f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
(1)求實數(shù)k的值,并寫出相應的函數(shù)f(x)的解析式;
(2)試判斷是否存在正數(shù)q,使函數(shù)g(x)=1﹣qf(x)+(2q﹣1)x在區(qū)間[﹣1,2]上的值域為[﹣4, ].若存在,求出q的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知f(x)=9x﹣2×3x+4,x∈[﹣1,2].
(1)設t=3x , x∈[﹣1,2],求t的最大值與最小值;
(2)求f(x)的最大值與最小值.
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