【題目】
已知橢圓.過點(diǎn)(m,0)作圓的切線l交橢圓G于A,B兩點(diǎn).
(I)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率;
(II)將表示為m的函數(shù),并求的最大值.
【答案】(Ⅰ)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,離心率為
(Ⅱ). |AB|的最大值為2
【解析】
試題(1)先由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出值,再利用求出值,進(jìn)而寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率;(2)先討論兩種特殊情況(點(diǎn)在圓上,即斜率不存在的情況),再設(shè)出切線的點(diǎn)斜式方程,利用直線與圓相切得到與的關(guān)系,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式得到關(guān)于的關(guān)系式,再利用基本不等式進(jìn)行求解.
試題解析:(1)由已知得:,所以.
所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,.
離心率為.
(2)由題意知:.
當(dāng)時(shí),切線的方程為,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為,,
此時(shí).
當(dāng)時(shí),同理可得.
當(dāng)時(shí),設(shè)切線的方程為.由,得
.
設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,則
,.
又由與圓相切,得,即.
所以,
由于當(dāng)時(shí),,
所以,.
因?yàn)?/span>,且當(dāng)時(shí),,
所以的最大值為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn),若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相交于兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請了北京大學(xué)的自主招生考試,當(dāng)他們被問到誰申請了北京大學(xué)的自主招生考試時(shí),甲說:“丙或丁申請了”;乙說:“丙申請了”;丙說:“甲和丁都沒有申請”;丁說:“乙申請了”,如果這四位同學(xué)中只有兩人說的是對的,那么申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高斯函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要函數(shù),在自然科學(xué)社會科學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域都能看到它的身影.設(shè),用符號表示不大于的最大整數(shù),如,則叫做高斯函數(shù).給定函數(shù),若關(guān)于的方程有5個(gè)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,若橢圓上一點(diǎn)滿足,過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作軸的垂線,交橢圓于,求證:存在實(shí)數(shù),使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題對任意實(shí)數(shù),不等式恒成立;命題方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.
(1)若命題為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若命題:“”為真命題,且“”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中;
(Ⅰ)若函數(shù)在處取得極值,求實(shí)數(shù)的值,
(Ⅱ)在(Ⅰ)的結(jié)論下,若關(guān)于的不等式,當(dāng)時(shí)恒成立,求的值.
(Ⅲ)令,若關(guān)于的方程在內(nèi)至少有兩個(gè)解,求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)求證:.
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