Question

如圖，△ABC在平面α內(nèi)，∠ACB=90°，AB=2BC=2，P為平面α外一個動點，且PC=

3

，∠PBC=60°
（Ⅰ）問當PA的長為多少時，AC⊥PB．
（Ⅱ）當△PAB的面積取得最大值時，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出AC⊥BC，當AC⊥PC時，AC⊥平面PBC，由此能求出當PA=

6

時，AC⊥PB．
（Ⅱ）由已知條件推導出當△PAB的面積取得最大值時，∠PBA=90°．過C作CE⊥BD，E為垂足，由題意得到∠CPE就是直線PC與平面PAB所成角，由此能求出直線PC與平面PAB所成角的正弦值．

解答： （本小題滿分15分）
解：（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
當AC⊥PC時，AC⊥平面PBC，而PB?平面PBC
AC⊥PB時，PA=

AC2+PC2

=

3+3

=

6

，
即當PA=

6

時，AC⊥PB．
（Ⅱ）在△PBC中，∵PC=

3

，∠PBC=60°，BC=1，
∴BC⊥PC，PB=2．當△PAB的面積取得最大值時，∠PBA=90°，
如圖，在Rt△PBA中，∵BP=BA=2，∴BD=

2

，
又在Rt△BCD中，∵BC=1，∴CD=1，
過C作CE⊥BD，E為垂足，由于PA⊥平面BCD，
∴平面BCD⊥平面PBA，由兩個平面互相垂直的性質(zhì)可知：CE⊥平面PBA，
∴∠CPE就是直線PC與平面PAB所成角，
在Rt△BCD中，CE=

BC•CD

BD

=

1×1

2

=

2

2

，
在Rt△PEC中，sin∠CPE=

CE

PC

=

2

2

÷

3

=

6

6

，
∴直線PC與平面PAB所成角的正弦值是

6

6

．

點評：本題考查異面直線垂直的條件的應用，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．