【題目】在數(shù)列中, ,其前項(xiàng)和為,滿足,其中.

1)設(shè),證明:數(shù)列是等差數(shù)列;

2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,求;

3)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為為非零整數(shù)),試確定的值,使得對(duì)任意,都有數(shù)列為遞增數(shù)列.

【答案】1證明見解析;2;3

【解析】試題分析:當(dāng)數(shù)列提供之間的遞推關(guān)系時(shí),證明某數(shù)列是等差數(shù)列,就是證明第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的比是一個(gè)常數(shù),這個(gè)分析給證明提供一個(gè)暗示,有了證明的目標(biāo),第一步n=1 時(shí),求出首項(xiàng),第二步,當(dāng)時(shí)利用兩式相減,得出的關(guān)系,達(dá)到證明的目的;利用錯(cuò)位相減法求和,要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確,借助數(shù)列是遞增數(shù)列,根據(jù)不等式恒成立的要求,利用“極值原理”求出參數(shù)的范圍.

試題解析:

1)當(dāng)時(shí), ,所以,

當(dāng)時(shí), ,

所以,即,所以(常數(shù))

,所以是首項(xiàng)為2,公差為1的對(duì)稱數(shù)列,所以.

2,

所以,

,

相減得,

所以.

3)若數(shù)列為遞增數(shù)列,可得,得,

化簡得,

,

進(jìn)而對(duì)任意恒成立,

當(dāng)為奇數(shù)時(shí), ,所以;

當(dāng)為偶數(shù)時(shí), ,所以 ,

所以,又為非零整數(shù),所以.

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