Question

【題目】在數(shù)列中， ，其前項(xiàng)和為，滿足，其中.

（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求；

（3）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為為非零整數(shù)），試確定的值，使得對任意，都有數(shù)列為遞增數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）;（3）

【解析】試題分析：當(dāng)數(shù)列提供與之間的遞推關(guān)系時(shí)，證明某數(shù)列是等差數(shù)列，就是證明第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)分析給證明提供一個(gè)暗示，有了證明的目標(biāo)，第一步n=1 時(shí)，求出首項(xiàng)，第二步，當(dāng)時(shí)利用與兩式相減，得出和的關(guān)系，達(dá)到證明的目的；利用錯(cuò)位相減法求和，要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確，借助數(shù)列是遞增數(shù)列，根據(jù)不等式恒成立的要求，利用“極值原理”求出參數(shù)的范圍.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ，所以，

當(dāng)時(shí)， ，

所以，即，所以（常數(shù)）

又，所以是首項(xiàng)為2，公差為1的對稱數(shù)列，所以.

（2），

所以，

，

相減得，

所以.

（3）若數(shù)列為遞增數(shù)列，可得，得，

化簡得，

即，

進(jìn)而對任意恒成立，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ，所以；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ，所以 ，

所以，又為非零整數(shù)，所以.