Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax+

a+1

x

-1．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）當-

1

2

≤a≤0時，討論f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=1時，直接求出f′（x）從而確定f（2）和f′（2），利用點斜式方程即可求出切線方程；
（2）分情況討論a=0，-

1

2

＜a＜0，a=-

1

2

三種情況下f′（x）的正負，即可確定f（x）的單調性．

解答： 解：（1）當a=1時，f(x)=lnx+x+

2

x

-1，
此時f′(x)=

1

x

+1-

2

x2

f′(2)=

1

2

+1-

2

4

=1，
又f(2)=ln2+2+

2

2

-1=ln2+2，
∴切線方程為：y-（ln2+2）=x-2，
整理得：x-y+ln2=0； 
（2）f′(x)=

1

x

+a-

1+a

x2

=

ax2+x-a-1

x2

=

(ax+a+1)(x-1)

x2

，
當a=0時，f′(x)=

x-1

x2

，
此時，當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增； 
當-

1

2

≤a＜0時，f′(x)=

a(x+ 1+a a )(x-1)

x2

，
當-

1+a

a

=1，即a=-

1

2

時，
f′(x)=-

(x-1)2

2x2

≤0在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）單調遞減； 
當-

1

2

＜a＜0時，-

1+a

a

＞1，
此時在（0，1），(-

1+a

a

，+∞)，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
f（x）在(1，

1-a

a

)，f′（x）＞0單調遞增； 
綜上所述：
當a=0時，f（x）在（0，1）單調遞減，f（x）在（1，+∞）單調遞增；
當-

1

2

＜a＜0時，f（x）在(0，1)，(

1-a

a

，+∞)單調遞減，f（x）在(1，

1-a

a

)單調遞增；
當a=-

1

2

時f（x）在（0，+∞）單調遞減．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義和曲線切線的求法，考查導數(shù)在研究函數(shù)單調性中的作用，以及分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．