Question

已知函數(shù)f（x）=

mx2+2

3x+n

是奇函數(shù)，且f（2）=

5

3

．
（1）求實數(shù)m和n的值；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和條件建立等式關(guān)系即可；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）=

mx2+2

3x+n

是奇函數(shù)，
∴對任意x∈R，且x≠-

n

3

都有f（-x）+f（x）=0，
即

mx2+2

-3x+n

+

mx2+2

3x+n

=0，亦即-3x+n+3x+n=0，于是n=0．
又f（2）=

5

3

，即

4m+2

6+n

=

5

3

，
∴m=2．
（2）由（1）知f（x）=

2

3

（x+

1

x

），f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．
證明如下：
任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（0，+∞），
那么f（x₁）-f（x₂）=

2

3

（x₁+

1

x1

）-

2

3

（x₂+

1

x2

）=

2

3

•(x1-x2)•

x1x2-1

x1x2

．
當(dāng)x₁，x₂∈（0，1]時，0＜x₁x₂＜1，
∴x₁x₂-1＜0，又x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)；
當(dāng)x₁，x₂∈[1，+∞）時，x₁x₂＞1，
∴x₁x₂-1＞0，又x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．