Question

已知函數(shù)f（x）＝x2·ln|x|（x≠0）．

（1）求f（x）的最值；

（2）若關(guān)于x的方程f（x）＝kx－1無實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由已知顯然該函數(shù)是偶函數(shù)，所以只需研究當(dāng)時(shí)的函數(shù)最值，由于函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，可用導(dǎo)數(shù)法求最值，因此對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，判斷導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)的符號(hào)確定單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值；（2）由（1）作出函數(shù)的圖像，方程無實(shí)數(shù)解時(shí)，由圖像可知，求出相切時(shí)的值，結(jié)合圖象可確定的范圍．

試題解析：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，∴我們先求其在（0,＋∞）內(nèi)的最值．

求導(dǎo)得：（x）＝x（2lnx＋1）, 令（x）＝0 ⇒ 2lnx＋1＝0 ⇒ x＝e，由此易知：

x∈（0, e）時(shí)，（x）＜0 ⇒ f（x）單調(diào)遞減；x∈（e,＋∞）時(shí)，（x）＞0 ⇒f（x）單調(diào)遞增．

故f（x）在[0,＋∞）上的最小值f（x）min＝f（e）＝－．

再由f（x）為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱即知：f（x）min＝－為所求．

（2）由（1）知：f（x）的圖像大致如右圖所示，由圖像知：當(dāng)求出直線y＝kx－1

與f（x）的圖像相切時(shí)，其斜率k的值后，便可求得該直線與f（x）的圖像無交點(diǎn)，即

方程f（x）＝kx－1無實(shí)數(shù)解時(shí)，其斜率k的取值范圍． 我們先考慮x＞0的情況．

設(shè)切點(diǎn)為（x0, y0），x0＞0⇒ k切＝x0（2ln x0＋1）⇒切線方程為：y＝x0（2ln x0＋1）x＋y0－x02（2ln x0＋1），

因該切線與y＝kx－1重合，故x02（2ln x0＋1）＝1 ⇒2x02ln x0＝1－x02 ．此即2 f（x0） ＝1－x02．（※）

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù)y＝2f（x）, x＞0, 與y＝1－x2的圖像，可知它們的交點(diǎn)為（1, 0）．故方程（※）的解為：x0＝1 ⇒k切＝1；⇒x＞0時(shí)，k≥1，直線y＝kx－1與f（x）的圖像有交點(diǎn)（即原方程有解）．

再根據(jù)f（x）的圖像的對(duì)稱性易知：k≤－1時(shí)，直線y＝kx－1與f（x）的圖像也有交點(diǎn)．

故－1＜k＜1時(shí)，直線y＝kx－1與f（x）的圖像無交點(diǎn)，即方程f（x）＝kx－1無實(shí)數(shù)解．

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、等性質(zhì)，確定函數(shù)的圖象，方程根的取值．