Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意的x₁，x₂都滿足．
（I）判斷f（x）的單調(diào)性和奇偶性；
（II）是否存在這樣的實數(shù)m，當θ∈[，

π

2

]時，不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0
對所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x₁=x，x₂=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)．在R上任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，再比較f（x₁）和f（x₂）的大小，從而得出：f（x）是增函數(shù)；
（II）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0，
只須f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]＞-f（3+2m）=f（-3-2m）
再根據(jù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)有sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m，
令t=sinθ+cosθ，原命題等價于t2-1-(m+2)t-

4

t

+3+2m＞0對t∈[1，

2

]恒成立從而證得原命題成立．

解答：解：（I）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，
有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)．（2分）
在R上任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
由題意知f（x₁-x₂）＜0，
則f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）是增函數(shù)（6分）
（II）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0，
只須f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]＞-f（3+2m）=f（-3-2m）
又由f（x）為單調(diào)增函數(shù)有sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m（8分）
令t=sinθ+cosθ，則sin2θ=t²-1，∵θ∈[0，

π

2

]，∴t=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]，
原命題等價于t2-1-(m+2)t-

4

t

+3+2m＞0對t∈[1，

2

]恒成立．（10分）

∴(2-t)m＞2t-t2+ 4 t -2， 即m＞ t(2-t)+ 2 t (2-t) 2-t =t+ 2 t 令g(t)=t+ 2 t ，則g′(t)=1- 2 t2 ，

當t∈[1，

2

]時，g′(t)＜0，
故g(t)在[1，

2

]上為減函數(shù)，∴m＞3時，原命題成立．（12分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．