Question

已知橢圓C：的焦點(diǎn)在y軸上，且離心率為．過點(diǎn)M（0，3）的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題知a²=m，b²=1，∴c²=m-1
∴，解得m=4．
∴橢圓的方程為．（4分）
（2）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，，不符合條件．（5分）
設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y=kx+3．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），聯(lián)立l和橢圓的方程：
，．消去y，整理得（4+k²）x²+6kx+5=0，
∴△=（6k）²-4×（4+k²）×5=16k²-80＞0，解得k²＞5．且，，
∴==
由已知有＜整理得13k⁴-88k²-128＜0，解得，
∴5＜k²＜8．（9分）
∵，即（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀
當(dāng)λ=0時(shí)，，，顯然，上述方程無解．
當(dāng)λ≠0時(shí)，，．
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，
∴，
化簡(jiǎn)得．由5＜k²＜8，可得3＜λ²＜4，
∴λ∈（-2，-）∪（，2）．即λ的取值范圍為（-2，-）∪（，2）．（12分）
分析：（1）由題知a²=m，b²=1，∴c²=m-1，且離心率為，得m=4．由此能求出橢圓的方程．
（2）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，，不符合條件．設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y=kx+3．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），聯(lián)立l和橢圓的方程：，消去y，整理得（4+k²）x²+6kx+5=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線 的位置關(guān)系和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．