（本題滿分12分）已知橢圓C：的焦點在y軸上，且離心率為．過點M(0，3)的直線l與橢圓C相交于兩點A、B．    （1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當||<時，求實數(shù)λ的取值范圍．

(Ⅰ)    (Ⅱ)  (-2，)∪(，2)


解析:

（1）由題知a2=m，b2=1，∴ c2=m-1∴ ，解得m=4．

∴ 橢圓的方程為．……4分

（2）當l的斜率不存在時，，不符合條件． ………5分

設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y=kx+3．

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，

聯(lián)立l和橢圓的方程：  消去y，整理得(4+k2)x2+6kx+5=0，

∴ Δ=(6k)2-4×(4+k2)×5=16k2-80>0，解得k2>5．

且，

∴ =，

由已知有，整理得13k4-88k2-128<0，解得 ，

∴ 5<k2<8．……9分∵ ，即(x1，y2)+(x2，y2)= λ(x0，y0)，

∴ x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，

當λ=0時，x1+x2=，，

顯然，上述方程無解．

當λ≠0時，=，．

∵ P(x0，y0)在橢圓上，∴ ，

化簡得．由 5<k2<8，可得3<2<4，∴ λ∈(-2，-)∪(，2)．

即λ的取值范圍為(-2，)∪(，2)……12分

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（1）求橢圓的離心率

（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點，分別是左右焦點，求的取值范圍

 

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