Question

【題目】某企業(yè)響應省政府號召，對現(xiàn)有設備進行改造，為了分析設備改造前后的效果，現(xiàn)從設備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項質(zhì)量指標值，若該項質(zhì)量指標值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.如圖是設備改造前的樣本的頻率分布直方圖，表是設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.

表：設備改造后樣本的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標值
頻數(shù)

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與設備改造有關(guān)；

	設備改造前	設備改造后	合計
合格品
不合格品
合計

（2）根據(jù)頻率分布直方圖和表 提供的數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對改造前后設備的優(yōu)劣進行比較；

（3）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，根據(jù)客戶需求對合格品進行登記細分，質(zhì)量指標值落在內(nèi)的定為一等品，每件售價元；質(zhì)量指標值落在或內(nèi)的定為二等品，每件售價元；其它的合格品定為三等品，每件售價元.根據(jù)表的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應等級產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品，設其支付的費用為（單位：元），求的分布列和數(shù)學期望.

附：

Answer 1

【答案】(1)列聯(lián)表見解析； 有的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與設備改造有關(guān)。

(2)設備改造后性能更優(yōu)．

(3)分布列見解析；.

【解析】分析：（1）根據(jù)設備改造前的樣本的頻率分布直方圖和設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表完成列聯(lián)表，求出，與臨界值比較即可得結(jié)果；（2）根據(jù)頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，可得到設備改造前產(chǎn)品為合格品的概率和

設備改造后產(chǎn)品為合格品的概率，從而可得結(jié)果；（3）隨機變量的取值為：，利用古典概型概率公式，根據(jù)獨立重復試驗概率公式求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數(shù)學期望.

詳解：（1）根據(jù)設備改造前的樣本的頻率分布直方圖和設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表．

完成下面的列聯(lián)表：

	設備改造前	設備改造后	合計
合格品
不合格品
合計

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得：

∵，

∴有的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與設備改造有關(guān)．

（2）根據(jù)設備改造前的樣本的頻率分布直方圖和設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表．

可知，設備改造前產(chǎn)品為合格品的概率約為

設備改造后產(chǎn)品為合格品的概率約為

設備改造后產(chǎn)品合格率更高，因此，設備改造后性能更優(yōu)．

（3）由表 1 知：

一等品的頻率為，即從所有產(chǎn)品中隨機抽到一件一等品的概率為；

二等品的頻率為，即從所有產(chǎn)品中隨機抽到一件二等品的概率為；

三等品的頻率為，即從所有產(chǎn)品中隨機抽到一件三等品的概率為.

由已知得：隨機變量的取值為：．

∴隨機變量的分布列為：

∴.