Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，λc=2acosB（λ∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)λ=1時，求證：A=B；
（Ⅱ）若B=60°，2b²=3ac，求λ的值．

Answer 1

分析：（I）把λ=1代入λc=2acosB中，表示出cosB，然后利用余弦定理表示出cosB，兩者相等化簡后，得到a等于b，根據(jù)等邊對等角得到A等于B，得證；
（II）由條件2b²=3ac表示出b²，然后利用余弦定理表示出cosB，把B的度數(shù)和表示出的b²代入即可得到關(guān)于a與c的關(guān)系式，即可用c來表示出a，又λc=2acosB，把cosB和表示出的a代入即可求出λ的值．

解答：解：（I）當(dāng)λ=1時，得到c=2acosB，即cosB=

c

2a

，
而cosB=

a2+c2-b2

2ac

，所以得到

a2+c2-b2

2ac

=

c

2a

，
化簡得：a²+c²-b²=c²，即a=b，
∴A=B；
（II）根據(jù)余弦定理得：cos60°=

1

2

=

a2+c2-b2

2ac

，又2b²=3ac，得到b²=

3ac

2

，
則a²+c²-

3ac

2

=ac，化簡得：（2a-c）（a-2c）=0，
解得a=

c

2

或a=2c，
當(dāng)a=

c

2

時，由λc=2acosB，得到λ=

2acosB

c

=

1 2 c

c

=

1

2

；
當(dāng)a=2c時，由λc=2acosB，得到λ=

2acosB

c

=

1 2 ×4c

c

=2，
綜上，λ的值為

1

2

或2．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理化簡求值，掌握三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，是一道中檔題．