【題目】已知函數(shù)(為實數(shù)).
(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(II)若在上的恒成立,求的范圍;
【答案】(I)見解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ) 求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令,解得或,根據(jù)根的大小三種情況分類討論,即可求解.
(II )依題意有在上的恒成立,
轉(zhuǎn)化為在上的恒成立,設(shè),,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值,即可求解.
(Ⅰ) 由題意,函數(shù),
則
令,解得或,
①當(dāng)時,有,有,故在上單調(diào)遞增;
②當(dāng)時,有,隨的變化情況如下表:
極大 | 極小 |
由上表可知在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
③同②當(dāng)時,有,
有在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
綜上,當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(II )依題意有在上的恒成立,
即在上的恒成立,
故在上的恒成立,
設(shè),,則有…(*)
易得,令,有,,
隨的變化情況如下表:
極大 |
由上表可知,
又由(*)式可知,
故的范圍為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《最強(qiáng)大腦》是江蘇衛(wèi)視引進(jìn)德國節(jié)目《SuperBrain》而推出的大型科學(xué)競技真人秀節(jié)目.節(jié)目籌備組透露挑選選手的方式:不但要對空間感知、照相式記憶進(jìn)行考核,而且要讓選手經(jīng)過名校最權(quán)威的腦力測試,120分以上才有機(jī)會入圍.某重點高校準(zhǔn)備調(diào)查腦力測試成績是否與性別有關(guān),在該高校隨機(jī)抽取男、女學(xué)生各100名,然后對這200名學(xué)生進(jìn)行腦力測試.規(guī)定:分?jǐn)?shù)不小于120分為“入圍學(xué)生”,分?jǐn)?shù)小于120分為“未入圍學(xué)生”.已知男生入圍24人,女生未入圍80人.
(1)根據(jù)題意,填寫下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認(rèn)為腦力測試后是否為“入圍學(xué)生”與性別有關(guān);
性別 | 入圍人數(shù) | 未入圍人數(shù) | 總計 |
男生 | 24 | ||
女生 | 80 | ||
總計 |
(2)用分層抽樣的方法從“入圍學(xué)生”中隨機(jī)抽取11名學(xué)生,然后再從這11名學(xué)生中抽取3名參加某期《最強(qiáng)大腦》,設(shè)抽到的3名學(xué)生中女生的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.
(Ⅰ)若直線PB與CD所成角的大小為,求BC的長;
(Ⅱ)求二面角B-PD-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點為,點為橢圓上的動點,若的最大值和最小值分別為和.
(I)求橢圓的方程
(Ⅱ)設(shè)不過原點的直線與橢圓 交于兩點,若直線的斜率依次成等比數(shù)列,求面積的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中,某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況,進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次).通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的100人的得分(滿分100分)統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:
(I)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表),利用該正態(tài)分布,求P(37<Z≤79);
(II)在(I)的條件下,“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:
①得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費,得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費;
②每次獲贈的隨機(jī)話費和對應(yīng)的概率為:
現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查,記 (單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:參考數(shù)據(jù)與公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一家保險公司決定對推銷員實行目標(biāo)管理,即給推銷員確定一個具體的銷售目標(biāo),確定的銷售目標(biāo)是否合適,直接影響到公司的經(jīng)濟(jì)效益,如果目標(biāo)定得過高,多數(shù)推銷員完不成任務(wù),會使推銷員失去信心:如果目標(biāo)定得太低,將不利于挖掘推銷員的工作潛力,下面一組數(shù)據(jù)是部分推銷員的月銷售額(單位:千元):
19.58 16.11 16.45 20.45 20.24 21.66 22.45 18.22 12.34
19.35 20.55 17.45 18.78 17.96 19.91 18.12 14.65 14.78
16.78 18.78 18.29 18.51 17.86 19.58 19.21 18.55 16.34
15.54 17.55 14.89 18.94 17.43 17.14 18.02 19.98 17.88
17.32 19.35 15.45 19.58 13.45 21.34 14.00 18.42 23.00
17.52 18.51 17.16 24.56 25.14
請根據(jù)這組樣本數(shù)據(jù)提出使65%的職工能夠完成銷售指標(biāo)的建議.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】表示不超過的最大整數(shù),例,,.已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)求證:當(dāng)且時,總有,并指出當(dāng)為何值時取等號;
(3)解關(guān)于的不等式.
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