【題目】若方程有實數(shù)根
,則稱
為函數(shù)
的一個不動點.已知函數(shù)
(
).
(1)若,求證:
有唯一不動點;
(2)若有兩個不動點,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)依題意,令(
),利用導(dǎo)數(shù)可知
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,且
時,
取的最小值0,由此即可得出結(jié)論;
(2)先證明,則
有兩個不動點等價于函數(shù)
在
上有兩個不同的零點,求出
的導(dǎo)數(shù),得到其單調(diào)性,得到函數(shù)的最小值
,即可得到
的取值范圍,再證明
時,
有兩個零點;
解:(1)證明:當(dāng)時,由
得
,
令(
),
則,易知
在
上恒成立,
故當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞減,
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞增,
∴,
∴方程有唯一實數(shù)根
,故
有唯一不動點;
(2)先證明,令
,則
,
,當(dāng)
時,
,當(dāng)
時,
,從而
,因此
在
上單調(diào)遞增,故
,所以
,即
,
有兩個不動點等價于函數(shù)
在
上有兩個不同的零點,
易知,
,當(dāng)
時,
,當(dāng)
時,
,所以有
,所以
,即
,
下面說明時,
有兩個零點,取
有
,故
,取
,且
,故
,又
,由零點存在性定理知
在
存在唯一
,使得
,在
內(nèi)存在
使
,綜上有
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性:
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上的最小值為0,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國家統(tǒng)計局統(tǒng)計了我國近10年(2009年2018年)的GDP(GDP是國民經(jīng)濟核算的核心指標(biāo),也是衡量一個國家或地區(qū)總體經(jīng)濟狀況的重要指標(biāo))增速的情況,并繪制了下面的折線統(tǒng)計圖.
根據(jù)該折線統(tǒng)計圖,下面說法錯誤的是
A. 這10年中有3年的GDP增速在9.00%以上
B. 從2010年開始GDP的增速逐年下滑
C. 這10年GDP仍保持6.5%以上的中高速增長
D. 2013年—2018年GDP的增速相對于2009年—2012年,波動性較小
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)(其中
)的圖象如圖所示,為了得到
的圖象,則只要將
的圖象上所有的點( )
A.向左平移個單位長度,縱坐標(biāo)縮短到原來的
,橫坐標(biāo)不變
B.向左平移個單位長度,縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍橫坐標(biāo)不變
C.向右平移個單位長度,縱坐標(biāo)縮短到原來的
,橫坐標(biāo)不變
D.向右平移個單位長度,縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍,橫坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知
(1)若a=1,且f(x)≥m在(0,+∞)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)時,若x=0不是f(x)的極值點,求實數(shù)a的取值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠加工的零件按箱出廠,每箱有10個零件,在出廠之前需要對每箱的零件作檢驗,人工檢驗方法如下:先從每箱的零件中隨機抽取4個零件,若抽取的零件都是正品或都是次品,則停止檢驗;若抽取的零件至少有1個至多有3個次品,則對剩下的6個零件逐一檢驗.已知每個零件檢驗合格的概率為0.8,每個零件是否檢驗合格相互獨立,且每個零件的人工檢驗費為2元.
(1)設(shè)1箱零件人工檢驗總費用為元,求
的分布列;
(2)除了人工檢驗方法外還有機器檢驗方法,機器檢驗需要對每箱的每個零件作檢驗,每個零件的檢驗費為1.6元.現(xiàn)有1000箱零件需要檢驗,以檢驗總費用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),在人工檢驗與機器檢驗中,應(yīng)該選擇哪一個?說明你的理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點
處的切線方程為
,求
的值;
(2)當(dāng)時,是否存在整數(shù)
,使得關(guān)于
的不等式
恒成立?若存在,求出
的最大值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在①,②
,③
這三個條件中任選一個,補充在下面問題中.已知:數(shù)列
的前
項和為
,且
, .求:對大于1的自然數(shù)
,是否存在大于2的自然數(shù)
,使得
,
,
成等比數(shù)列.若存在,求
的最小值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查某款電視機的壽命,研究人員對該款電視機進行了相應(yīng)的測試,將得到的數(shù)據(jù)分組:,
,
,
,
,并統(tǒng)計如圖所示:
并對不同性別的市民對這款電視機的購買意愿作出調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
愿意購買該款電視機 | 不愿意購買該款電視機 | 總計 | |
男性 | 800 | 1000 | |
女性 | 600 | ||
總計 | 1200 |
(1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù),試估計該款電視機的平均壽命;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“是否愿意購買該款電視機”與“市民的性別”有關(guān);
(3)以頻率估計概率,若在該款電視機的生產(chǎn)線上隨機抽取4臺,記其中壽命不低于4年的電視機的臺數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù):,其中
.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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