Question

若點P在曲線C₁：y²=8x上，點Q在曲線C：（x-2）²+y²=1上，點O為坐標原點，則

|PO|

|PQ|

的最大值是

4 7

7

．

Answer 1

分析：設P（x，y），利用點P在曲線C₁：y²=8x上，點Q在曲線C：（x-2）²+y²=1上，求出|PO|²=x²+y²=x²+8x，|PQ|min=x+2-1=x+1，由此能求出

|PO|

|PQ|

的最大值．

解答：解：設P（x，y），曲線C₁：y²=8x焦點F（2，0），
∵點P在曲線C₁：y²=8x上，點Q在曲線C：（x-2）²+y²=1上，
∴|PO|²=x²+y²=x²+8x，
∴|PQ|min=x+2-1=x+1，（拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，再減去半徑）
∴

|PO|

|PQ|

=

x2+8x

x+1

=

x2+8x (x+1)2

，
設t=x+1，則x=t-1，
∴

x2+8x (x+1)2

=

(t-1)2+8(t-1) t2

=

1+ 6 t - 7 t2

，
設a=

1

t

，則

1+ 6 t - 7 t2

=

1+6a-7a2

=

-7(a- 3 7 )2+ 16 7

．
∴當a=

3

7

時，

1+6a-7a2

取得最大值

4 7

7

．
故

|PO|

|PQ|

的最大值是

4 7

7

．
故答案為：

4 7

7

．

點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合運用，具體涉及到圓的簡單性質(zhì)、拋物線的簡單性質(zhì)、配方法等基本知識點，解題時要認真審題，仔細解答．