Question

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量

m

=（1，-1），

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

3

2

），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A的大小
（Ⅱ）若a=1，2c-（

3

+1）b=0，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩向量垂直時(shí)滿足的條件列出關(guān)系式，整理求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)，cosA，表示出的c代入求出b的值，進(jìn)而求出c的值，再由sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（1，-1），

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

3

2

），且

m

⊥

n

，
∴cosBcosC-sinBsinC+

3

2

=0，
整理得cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=-cosA=-

3

2

，即cosA=

3

2

，
∵A為三角形內(nèi)角，
∴A=

π

6

；
（Ⅱ）∵A=

π

6

，a=1，2c-（

3

+1）b=0，
∴由余弦定理，得1=b²+

4+2 3

4

b²-

3+ 3

2

b²，
解得：b=

2

，c=

3 +1

2

b=

6 + 2

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

2

×

6 + 2

2

×

1

2

=

3 +1

4

．

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及三角形面積公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．