橢圓Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y=與橢圓Γ的一個交點滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于    ．
【答案】分析：由直線可知斜率為，可得直線的傾斜角α=60°．又直線與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，進而．
設(shè)|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、橢圓的定義及其邊角關(guān)系可得，解出a，c即可．
解答：解：如圖所示，
由直線可知傾斜角α與斜率有關(guān)系=tanα，∴α=60°．
又橢圓Γ的一個交點滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．
設(shè)|MF2|=m，|MF1|=n，則，解得．
∴該橢圓的離心率e=．
故答案為．
點評：本題綜合考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系、勾股定理、含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義、離心率等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力和計算能力即數(shù)形結(jié)合的思想方法．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為
1
2
a，則該橢圓的離心率是（　　）
A、
3
2
B、
3
4
C、
1
4
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•濰坊二模）如圖，已知F（2，0）為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點，AB為橢圓的通徑（過焦點且垂直于長軸的弦），線段OF的垂直平分線與橢圓相交于兩點C、D，且∠CAD=90°．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)過點F斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓相交于兩點P、Q．若存在一定點E（m，0），使得x軸上的任意一點（異于點E、F）到直線EP、EQ的距離相等，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長是常數(shù)，當兩準線間的距離取得最小值時，橢圓的離心率為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•天津模擬）設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），直線l：x=a2交x軸于點A，且
AF1
=2
AF2
．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（2）過F1、F2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點（如圖所示），若四邊形DMEN的面積為
27
7
，求DE的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•河南模擬）橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率是
1
2
，則
b2+1
3a
的最小值為（　�。�

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