Question

【題目】如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過點C，已知AB=3米，AD=2米，記矩形AMPN的面積為S平方米．

（1）按下列要求建立函數(shù)關系；
（i）設AN=x米，將S表示為x的函數(shù)；
（ii）設∠BMC=θ（rad），將S表示為θ的函數(shù)．
（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關系，求出S的最小值，并求出S取得最小值時AN的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：（i）∵Rt△CDN～Rt△MBC，∴ = ，

∴ ，∴BM= ，

由于 ，則AM=

∴S=ANAM= ，（x＞2）

（ii）在Rt△MBC中，tanθ= ，∴MB= ，∴AM=3+ ，

在Rt△CDN中，tanθ= ，∴DN=3tanθ，∴AN=2+3tanθ，

∴S=AMAN=（3+ ）（2+3tanθ），其中0＜θ＜

（2）解：選擇（ii）中關系式

∵S=AMAN=（3+ ）（2+3tanθ），（0＜θ＜ ）；

∴S=12+9tanθ+ ≥12+2 =24，

當且僅當9tanθ= ，即tanθ= 時，取等號，此時AN=4

答：當AN的長度為4米時，矩形AMPN的面積最小，最小值為24m2．

【解析】（1）求出AN，AM，即可建立函數(shù)關系；（i）設AN=x米，先求出AM的長，即可表示出矩形AMPN的面積；（ii）由∠BMC=θ（rad），可以依次表示出AM與AN的長度，即可表示出S關于θ的函數(shù)表達式；（2）選擇（ii）中的函數(shù)關系式，化簡，由基本不等式即可求出最值．
【考點精析】利用基本不等式在最值問題中的應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”．