Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，原點到過點A（a，0），B（0，-b）的直線的距離是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線y=kx+m（k≠0）交橢圓于不同的兩點C、D，且C、D都在以B為圓心的圓上，若存在，求出m的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，原點到過點A（a，0），B（0，-b）的直線的距離是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．列出方程組求解即可得到橢圓的方程．
（2）聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$消y整理，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點是E（x₀，y₀），利用韋達(dá)定理求出${x_0}=-\frac{km}{{\frac{1}{2}+{k^2}}}，{y_0}=k{x_0}+m$，求出BE的方程x₀+ky₀+k=0，化簡推出m=1+2k²，求出m∈（0，1）說明不存在這樣的直線，交橢圓于不同的兩點，且這兩點都在以B為圓心的圓上．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，c²=a²-b²…（1分）
原點到直線AB：$\frac{x}{a}-\frac{y}=1$的距離$d=\frac{ab}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（2分）
∴$b=1，a=\sqrt{2}$…（3分）
∴所求的橢圓方程：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（4分）
（2）$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$消y整理得：$（\frac{1}{2}+{k^2}）{x^2}+2kmx+{m^2}-1=0$…（6分）
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點是E（x₀，y₀），
則${x_0}=-\frac{km}{{\frac{1}{2}+{k^2}}}，{y_0}=k{x_0}+m$，…（7分）
${k_{BE}}=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}=-\frac{1}{k}$…（8分）
所以x₀+ky₀+k=0即（1+k²）x₀+km+k=0，
即$（1+{k^2}）•\frac{-km}{{\frac{1}{2}+{k^2}}}+km+k=0$，$\frac{{-m（1+{k^2}）}}{{\frac{1}{2}+{k^2}}}+m+1=0$，
∴m=1+2k²（∵k≠0，∴m＞1）…（9分）
又$△={（2km）^2}-4（\frac{1}{2}+{k^2}）（{m^2}-1）＞0$
即m²-（1+2k²）＜0，…（10分）
∴m²-m＜0∴m∈（0，1）…（11分）
綜上所述，不存在這樣的直線，交橢圓于不同的兩點，且這兩點都在以B為圓心的圓上．…12 分

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，存在性問題的解決方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．