Question

已知函數(shù)f(x)=e^x-x-1(x＞0),g(x)=·e^x(x＞0).

(1)求證:當a≥1時對于任意正實數(shù)x,f(x)的圖象總不會在g(x)的圖象的上方;

(2)對于在(0,1)上的任意a值,問是否存在正實數(shù)x使得f(x)＞g(x)成立?如果存在,求出符合條件的x的一個取值;否則,請說明理由.

Answer 1

(1)證明:在x＞0時,要證f(x)的圖象總不會在g(x)的圖象的上方,

即證f(x)≤g(x)成立;要證e^x-x-1≤·e^x成立;只需證e^x≤·e^x+x+1,即需證1≤+.①

令y(x)=+,∴y′(x)=ax+=ax+.

∴y′(x)=x(a).

又∵a≥1,x＞0,故y′(x)≥0.

∴y(x)是增函數(shù),故y(x)≥y(0)=1,從而①式成立.

∴f(x)≤g(x)成立;

所以當a≥1時對于任意正實數(shù)x,f(x)的圖象總不會在g(x)的圖象的上方.

(2)解:將f(x)＞g(x)(x＞0),即e^x-x-1＞·e^x,

變形為+-1＜0.②

要找一個x＞0,使得②式成立,只需找到函數(shù)t(x)=+-1的最小值,滿足t(x)_min＜0即可,對于t(x)求導數(shù)t′(x)=x(a).

令t′(x)=0得e^x=,則x=-lna.在0＜x＜-lna時,t′(x)＜0;

在x＞-lna時,t′(x)＞0;t(x)在x=-lna時,取最小值.t(-lna)=(lna)²+a(-lna+1)-1,

下面只需證明(lna)²+a(-lna+1)-1＜0在0＜a＜1時恒成立即可.

又令p(a)=(lna)²+a(-lna+1)-1,對p(a)關于a求導數(shù),則p′(a)=(lna)²≥0,

從而p(a)為增函數(shù),則p(a)＜p(1)=0,從而(lna)²+a(-lna+1)-1＜0(0＜a＜1),

于是t(x)的最小值t(-lna)＜0,因此可以找到一個常數(shù)x=-lna(0＜a＜1)使得②式成立.