Question

如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，BD=4

2

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P-CD-B的大�。�

Answer 1

分析：（I）證明直線BD所在的向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量垂直，即可得到直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，進(jìn)而得到線面垂直．
（II）由題意求出兩個(gè)平面的法向量，求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角P-CD-B的平面角即可．

解答：解：（I）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），D（0，4，0），P（0，0，4），
在Rt△BAD中，AD=4，BD=4

2

，
∴AB=4，
所以B（4，0，0），C（4，4，0），
∴

AP

=(0，0，4)，

AC

=(4，4，0)，

BD

=（-4，4，0）
∵

BD

•

AP

=0，

BD

•

AC

=0
即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=4，
∴BD⊥平面PAC．
（II）：由（I）得

PD

=(0，4，-4)，

CD

=（-4，0，0）．
設(shè)平面PCD的法向量為

n1

=(x，y，z)，則

n1

•

PD

=0，

n1

•

CD

=0，
即

0+4y-4x=0 -4x+0+0=0

解得

x=0 y=z

所以

n1

=(0，1，1)，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AP

=(0，0，1)為平面ABCD的法向量.
設(shè)二面角P-CD-B的大小為θ，
依題意可得 cosθ=|

n1 • AP

| n1 |•| AP |

|=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的基本運(yùn)算解決線面共線、空間角與空間距離等問題．