Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為PA的中點，過C，D，E三點的平面與PB交于點F，且PA=PD=AB=2.

（1）證明：；

（2）若四棱錐的體積為，則在線段上是否存在點G，使得二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，

【解析】

（1）由AB//CD推出CD//平面PAB，利用線面平行的性質(zhì)可推出CD//EF，又CD⊥AD則；（2）由面面垂直的性質(zhì)證明PO⊥平面ABCD，即可根據(jù)四棱錐的體積及勾股定理求出PO，AD，建立空間直角坐標系，設，由空間向量法利用的余弦值列出方程即可求得.

（1）證明：由題意得，AB//CD，

又AB平面PAB，CD平面PAB，∴CD//平面PAB.

又CD平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB＝EF，

∴CD//EF，又CD⊥AD，∴EF⊥AD.

（2）取AD的中點為O，連接PO，PA=PD，PO⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

∴VP－ABCD=AB·AD·PO=，則AD·PO=4，

又PO2+=4，∴PO=，AD=2.

取BC的中點為H，以OA，OH，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0，0，)，B(，2，0)，D(－，0，0)，C(－，2，0)，

∴=(，2，－)， =(0，－2，0).

假設存在點G，設，

∴，則，

∴=((1+λ)，2λ，(1－λ))，

設平面GCD的法向量為，

，可取，

又平面的一個法向量，二面角G－CD－B為銳角，

∴，解得λ=或λ=3（舍）.

存在點G，使得二面角G－CD－B的余弦值為，此時.