Question

【題目】設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓 的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)O且斜率為 的直線與直線AB相交M，且 ．
（Ⅰ）求證：a=2b；
（Ⅱ）PQ是圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過(guò)P，Q兩點(diǎn)，求橢圓E的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵A（a，0），B（0，b）， ，

即為（a﹣xM，0﹣yM）= （xM﹣0，yM﹣b），

即有a﹣xM= xM，﹣yM= （yM﹣b），

所以 ，

∴ ，解得a=2b；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴橢圓E的方程為 ，即x2+4y2=4b2（1）

依題意，圓心C（2，1）是線段PQ的中點(diǎn)，且 ．

由對(duì)稱性可知，PQ與x軸不垂直，設(shè)其直線方程為y=k（x﹣2）+1，

代入（1）得：

（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

則 ， ，

由 得 ，解得 ．

從而x1x2=8﹣2b2．

于是

解得b2=4，a2=16，∴橢圓E的方程為

【解析】（Ⅰ）運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線OM的斜率，進(jìn)而得證；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，橢圓方程設(shè)為x2+4y2=4b2（1），設(shè)PQ的方程，代入方程（1），運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及弦長(zhǎng)公式，解方程即可得到a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程．