Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+（1-a）x-lnx（a＞-1）；
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＜0，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）由函數(shù)的解析式求出函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＜0，等價(jià)于f（x）_min＜0．分當(dāng)a≥0時(shí)和當(dāng)-l＜a＜0時(shí)，兩種情況，分別求得a的范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：（I）函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=ax+1-a-

1

x

=

(ax+1)(x-1)

x

，
當(dāng)a≥0時(shí)，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+

故f（x）在（0，1）上遞減，（1，+∞）上遞增．
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f′(x)=

(ax+1)(x-1)

x

=

-a

x

(x+

1

a

)(x-1)，

x	（0，1）	1	(1，- 1 a )	- 1 a	(- 1 a ，+∞)
f′（x）	-	0	-	0	-

即f（x）在（0，1），(-

1

a

，+∞)遞減，在(1，-

1

a

)上遞增．
（Ⅱ）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＜0，等價(jià)于f（x）_min＜0．
當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)min=f(1)=

a

2

+1-a＜0⇒a＞2，
當(dāng)-l＜a＜0時(shí)，當(dāng)x→+∞時(shí)，

1

2

ax2+(1-a)x→-∞，-lnx→-∞，
則f（x）→-∞，顯然存在x₀，使f（x₀）＜0，
綜上，a∈（-1，0）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)題．