Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且點(diǎn)P(bn，bn+1) (n∈N*)在直線y=x+2上．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和D_n．

Answer 1

分析：（1）利用“當(dāng)n=1，a₁=2；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n；利用等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可得出b_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：（1）①當(dāng)n=1，a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1（n≥2），
∴{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)a₁=2．
∴an=2n．
②點(diǎn)P(bn，bn+1) (n∈N*)在直線y=x+2上，
∴b_n+1=b_n+2，
∴{b_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)b₁=1，
∴b_n=2n-1
（2）由（1）可得：an•bn=(2n-1)×2n，
∴Dn=1×21+3×22+5×23+7×24+…(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n①
2Dn=1×22+3×23+5×24+7×25+…(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1②
①-②得-Dn=1×21+2×22+2×23+2×24+…2×2n-(2n-1)×2n+1=2+2×

4(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)×2n+1=2n+1(3-2n)-6．
∴Dn=(2n-3)2n+1+6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．