Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|
（1）解不等式f（x）≥4；
（2）求函數(shù)y=f（x）的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|=，…（3分）
不等式f（x）≥4 等價(jià)于：
，或 ，或 ．
解得：x≤-8，或 x≥2，
故不等式的解集為 {x|x≤-8 或 x≥2 }．…（6分）
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù) y=f（x） 的最小值在 x=- 處取得，
此時(shí) f_min（x）=-．…（10分）
分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)f（x）=，不等式f（x）≥4 等價(jià)于：，或 ，或 ．求出各個(gè)不等式組的解集，再取并集
即得所求．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù) y=f（x） 的最小值在 x=- 處取得，由此求得函數(shù)的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．