Question

已知三棱錐D-ABC，D₁為底面△ABC的重心，過A、B、C分別作DD₁的平行線分別交對(duì)面所在的平面于A₁，B₁，C₁點(diǎn)．（如，過A點(diǎn)作DD₁的平行線交BCD所在的平面于A₁點(diǎn)）
（1）證明：AA₁=3DD₁；
（2）若DA、DB、DC兩兩垂直，且DA=DB=4，DC=3，求三棱錐D₁-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A₁是過A點(diǎn)作DD₁的平行線與BCD所在的平面的交點(diǎn)，可得BC中點(diǎn)E與A₁的連線必定經(jīng)過點(diǎn)D，再在△AA₁E中利用平行線分線段成比例定理，結(jié)合重心的性質(zhì)，可證出AA₁=3DD₁；
（2）利用線面垂直的判定不難得到DC⊥平面ABD，可得V_D-ABC=V_C-ABD=8，結(jié)合（1）的結(jié)論可得三棱錐A₁-ABC的體積是三棱錐D-ABC的三倍，得到V_A1-ABC=24，最后根據(jù)等底等高的兩個(gè)三棱錐的體積相等，可求出三棱錐D₁-A₁B₁C₁的體積．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A₁是過A點(diǎn)作DD₁的平行線與BCD所在的平面的交點(diǎn)
∴設(shè)BC中點(diǎn)為E，連接A₁E，則點(diǎn)D必定在A₁E上
∵△ABC中，D₁為重心，∴AD₁=3D₁E
又∵△AA₁E中，DD₁∥AA₁，
∴

DD1

AA1

=

D1E

AE

=

1

3

，可得AA₁=3DD₁；
（2）連接A₁B、A₁C
∵DA⊥DB，DA=DB=4，∴S_△ABD=

1

2

×4×4=8
∵DC⊥DB，DC⊥DA，且DA∩DB=D
∴DC⊥平面ABD，可得V_D-ABC=V_C-ABD=

1

3

×S_△ABD×CD=8
∴V_A1-ABC=3V_D-ABC=24
∵三棱錐D₁-A₁B₁C₁與三棱錐A₁-ABC等底等高
∴三棱錐D₁-A₁B₁C₁的體積V=24．

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的三棱柱，叫我們證明線段的倍數(shù)關(guān)系并且求三棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定、平行線的性質(zhì)和錐體的體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．