Question

已知f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

（x∈R），若對(duì)x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并求f（1）的值；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）解不等式f（2x-1）＜

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件f（-x）=-f（x）建立方程關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值，并求f（1）的值；
（2）根奇函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．

解答： 解：（1）由對(duì)x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立，則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則由f（0）=0，得，a=1，
則f（x）=

2x-1

2x+1

，即f（1）=

1

3

．…（4分）
（2）f（x）在定義域R上為增函數(shù)．…（6分）
證明如下：由得f（x）=

2x-1

2x+1

，
任取x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

 …（8分）
∵x₁＜x₂，
∴2^x₁＜2^x₂，
∴f（x₁）＜f（x₂），即則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即則f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在定義域R上為增函數(shù)．…（10分）
（3）由（1），（2）可知，不等式f（2x-1）＜

1

3

可化為f（2x-1）＜f（1），
即2x-1＜1，解得x＜1．
得原不等式的解集為（-∞，1）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．