【題目】某公司計劃在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過 300 分鐘的廣告,廣告總費用不超過9萬元.甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘.甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告,能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.設該公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘.
(Ⅰ)用列出滿足條件的數學關系式,并畫出相應的平面區(qū)域;
(Ⅱ)該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間使公司的收益最大,并求出最大收益是多少?
【答案】(1)詳見解析(2) 該公司在甲電視臺做100分鐘廣告,在乙電視臺做200分鐘廣告使公司的收益最大,最大收益是70萬元.
【解析】試題分析:(I)根據廣告費用和收益列出約束條件,作出可行域;
(II)列出目標函數z=3000x+2000y,根據可行域判斷最優(yōu)解的位置,列方程組解出最優(yōu)解得出最大收益.
試題解析:(I)設該公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘,則, 滿足的數學關系式為
該二次元不等式組等價于
做出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域
(II)設公司的收益為元,則目標函數為:
考慮,將它變形為.
這是斜率為,隨變化的一族平行直線,當截距最大,即最大.
又因為滿足約束條件,所以由圖可知,
當直線經過可行域上的點時,截距最大,即最大.
解方程組得,
代入目標函數得.
答:該公司在甲電視臺做100分鐘廣告,在乙電視臺做200分鐘廣告使公司的收益最大,最大收益是70萬元.
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【題目】在四棱錐中,底面為平行四邊形, , , , 點在底面內的射影在線段上,且, , 為的中點, 在線段上,且.
(Ⅰ)當時,證明:平面平面;
(Ⅱ)當平面與平面所成的二面角的正弦值為時,求四棱錐的體積.
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【題目】某企業(yè)為了對新研發(fā)的一批產品進行合理定價,將產品按事先擬定的價格進行試銷,得到一組銷售數據,如表所示:
已知
(1)求的值
(2)已知變量具有線性相關性,求產品銷量關于試銷單價的線性回歸方程 可供選擇的數據
(3)用表示(2)中所求的線性回歸方程得到的與對應的產品銷量的估計值。當銷售數據對應的殘差的絕對值時,則將銷售數據稱為一個“好數據”。試求這6組銷售數據中的 “好數據”。
參考數據:線性回歸方程中的最小二乘估計分別是
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【題目】在小明的婚禮上,為了活躍氣氛,主持人邀請10位客人做一個游戲.第一輪游戲中,主持人將標有數字1,2,…,10的十張相同的卡片放入一個不透明箱子中,讓客人依次去摸,摸到數字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰,第二輪放入1,2,…,5五張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數字3,4,5的客人留下,第三輪放入1,2,3三張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數字2,3的客人留下,同樣第四輪淘汰一位,最后留下的客人獲得小明準備的禮物.已知客人甲參加了該游戲.
(1)求甲拿到禮物的概率;
(2)設表示甲參加游戲的輪數,求的概率分布和數學期望.
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【題目】已知函數,三個函數的定義域均為集合.
(1)若恒成立,滿足條件的實數組成的集合為,試判斷集合與的關系,并說明理由;
(2)記,是否存在,使得對任意的實數,函數有且僅有兩個零點?若存在,求出滿足條件的最小正整數;若不存在,說明理由.(以下數據供參考: )
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【題目】如圖,公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地,現修成草坪,圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分,D在AB上,E在AC上.
(1)設AD=x(x≥1),ED=y,求用x表示y的函數關系式;
(2)如果DE是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,DE的位置應在哪里?如果DE是參觀線路,則希望它最長,DE的位置又應在哪里?請予證明.
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【題目】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調查.下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:
非體育迷 | 體育迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計 |
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
(1)根據已知條件完成上面的2×2列聯表,若按95%的可靠性要求,并據此資料,你是否認為“體育迷”與性別有關?
(2)現在從該地區(qū)非體育迷的電視觀眾中,采用分層抽樣方法選取5名觀眾,求從這5名觀眾選取兩人進行訪談,被抽取的2名觀眾中至少有一名女生的概率.
附:
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
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