Question

（本小題滿分13分）已知由非負整數(shù)組成的數(shù)列滿足下列兩個條件：

①，，

②

（1）求；

（2）證明 ；

（3）求的通項公式及其前項和．

Answer 1

（1）;（2）詳見解析; （3）;．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時將，代入即可求得．因為、均為非負整數(shù),所以可討論得取值．（2）可用數(shù)學(xué)歸納法證明此問題．（3）由（2）知成立,所以．所以數(shù)列中的奇數(shù)項是首項為,公差為2的等差數(shù)列;數(shù)列中偶數(shù)項也是首項為,公差為2的等差數(shù)列．從而可得數(shù)列的通項公式,再求其和．注意討論的奇偶．

試題解析：【解析】
（1）由題設(shè)得，且、均為非負整數(shù)，所以的可能的值為1，2，5，10．

若，則，，與題設(shè)矛盾，

若，則，，與題設(shè)矛盾，

若，則，，，與題設(shè)矛盾，

所以

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明

（i）當(dāng)，，等式成立

（ii）假設(shè)當(dāng)（）時等式成立，即，

由題設(shè)，

∵，∴,

也就是說，當(dāng)時，等式成立

根據(jù)（i）和（ii），對于所有，有

（3）由，及，，

得，，

即，

所以

考點：1數(shù)學(xué)歸納法;2數(shù)列的通項公式,數(shù)列求和．