Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）=x²-2x
（1）求f（x）的解析式；
（2）在右側(cè)直角坐標(biāo)系中畫(huà)出f（x）的圖象，并且根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題（直接寫(xiě)出結(jié)果）
①f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
②若方程f（x）=m有三個(gè)根，則m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x＜0，則-x＞0，由x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x，可求得f（-x），而f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，從而可求得x＜0時(shí)的解析式，最后用分段函數(shù)表示函數(shù)f（x）的解析式即可．
（2）分兩段畫(huà)，每一段都是拋物線的一部分；
（3）觀察圖象直接寫(xiě)出結(jié)果，

解答： 解：（1）令x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
又f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）=-x²-2x．
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=x²-2x=0，
∴f（x）=

x2-2x，0≤x≤3 -x2-2x，-3≤x＜0

．
（2）

觀察圖象知：
①單調(diào)增區(qū)間為[-3，-1]，[1，3]．
②若方程f（x）=m有三個(gè)根，則函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=m有三個(gè)交點(diǎn)，
∴m的范圍為（-1，1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合．