Question

已知x₁、x₂分別是函數(shù)f（x）=

x3

3

+

1

2

ax²+2bx+c的兩個極值點，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），則

b-2

a-1

的取值范圍是（　�。�

• A．(-∞，

  1

  4

  )∪（1，+∞）
• B．(-1，-

  1

  4

  )
• C．(

  1

  4

  ，2)
• D．(

  1

  4

  ，1)

Answer 1

分析：根據(jù)極值的意義可知，極值點x₁、x₂是導函數(shù)等于零的兩個根，根據(jù)根的分布建立不等關(guān)系，畫出滿足條件的區(qū)域，明確目標函數(shù)的幾何意義，即可求得結(jié)論．

解答：解：求導函數(shù)可得f'（x）=x²+ax+2b
依題意知，方程f'（x）=0有兩個根x₁、x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
等價于f'（0）＞0，f'（1）＜0，f'（2）＞0．
∴

b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

滿足條件的（a，b）的平面區(qū)域為圖中陰影部分，三角形的三個頂點坐標為（-1，0），（-2，0），（-3，1）

b-2

a-1

表示（a，b）與點（1，2）連線的斜率，由圖可知斜率的最大值為

2-0

1+1

=1，最小值為

2-1

1+3

=

1

4

故選D．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，屬于中檔題．