Question

用0到9這十個數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)?

Answer 1

思路解析:本題考查排列數(shù)公式的應用.在本題中,0不能排在首位,末位只能從0,2,4,6,8這五個數(shù)字中取一個.顯然,0是特殊元素,首位和末位是特殊位置.一般地,我們可從特殊元素的排列位置入手來考慮問題.

解法一:組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)這件事,可以分成兩類:

第一類:個位數(shù)字是0的四位偶數(shù),有A個;

第二類:個位數(shù)字是2,4,6,8這四個數(shù)字之一的四位偶數(shù),要分三個步驟完成:

第一步,從2,4,6,8中任取一個數(shù)字作為個位數(shù)字,有A種方法;

第二步,從除0以外的其余八個數(shù)字中,任取一個數(shù)字作為千位數(shù)字,有A種方法;

第三步,從剩余的八個數(shù)字中,任取兩個數(shù)字作為百位和十位上的數(shù)字,有A種方法.

由分步乘法計數(shù)原理,第二類中的四位偶數(shù)有A·A·A個.

最后,由分類加法計數(shù)原理,符合條件的四位偶數(shù)共有

A+A·A·A=504+1 792=2 296(個).

解法二:組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)這件事,可以分成兩類:

第一類,從1,3,5,7,9中任取一個數(shù)字作為千位數(shù)字,從0,2,4,6,8中任取一個數(shù)字作為個位數(shù)字的四位偶數(shù),有A·A·A(個).

第二類,從2,4,6,8中任取一個數(shù)字作為千位數(shù)字,從0,2,4,6,8中剩余的四個數(shù)字中,任取一個數(shù)字作為個位數(shù)字的四位偶數(shù),有A·A·A(個).

由分類加法計數(shù)原理,符合條件的四位偶數(shù)共有

A·A·A+A·A·A=(25+16)×56=2 296(個).

解法三:從0到9這十個數(shù)字中任取4個且末位是偶數(shù)的排列數(shù)為A·A,其中0在首位的四位偶數(shù)為A·A,它們的差就是符合條件的四位偶數(shù)的個數(shù),即所求的四位偶數(shù)是A·A-A·A=5×9×8×7-4×8×7=2 296(個).

方法歸納  解決排列問題的方法有直接法和間接法(正難則反)兩種.直接法可從元素或位置入手;間接法主要是解決有約束條件的排列問題.