Question

給出下列五個命題：
①函數(shù)y=2sin（2x-

π

3

）的一條對稱軸是x=

5π

12

；
②若sin（2x₁-

π

4

）=sin（2x₂-

π

4

），則x₁-x₂=kπ，其中k∈Z；
③正弦函數(shù)在第一象限為增函數(shù)；
④函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點（

π

2

，0）對稱．
以上四個命題中正確的有

 

（填寫正確命題前面的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：①結(jié)合圖象可知，正弦函數(shù)在對稱軸處取得最值，因此只需驗證此時是否取得最值即可；
②這實際上是函數(shù)y=sin（2x-

π

4

）的兩函數(shù)值相等時，結(jié)合y=sinx圖象可知，2x₁-

π

4

=2x₂-

π

4

+2kπ或2x₂-

π

4

=π-（2x₁-

π

4

）+2kπ，k∈Z；
③第一象限的角不只是一個區(qū)間上的角，是多個區(qū)間的并集，故③不對；
④結(jié)合正切函數(shù)的圖象觀查可以判斷．

解答： 解：①由圖象可知，正弦函數(shù)在對稱軸處取得最值，將x=

5π

12

代入原函數(shù)得y=2sin

π

2

=2，是最大值，故①是真命題；
②結(jié)合y=sinx圖象可知，若sin（2x₁-

π

4

）=sin（2x₂-

π

4

），則2x₁-

π

4

=2x₂-

π

4

+2kπ或2x₂-

π

4

=π-（2x₁-

π

4

）+2kπ，k∈Z，即x1+x2=

3

4

π+kπ，故②錯；
③取第一象限的角

π

4

＜

9π

4

，但sin

π

4

=sin

9π

4

，所以③錯；
④結(jié)合正切函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)關(guān)于點（

π

2

，0）對稱，故④正確．
故答案為①④

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一般是從函數(shù)的圖象入手來分析，要注意化歸思想的應(yīng)用，比如①對稱問題轉(zhuǎn)化為最值問題；②把括號內(nèi)看成一個角聯(lián)系正弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì)來解．