Question

設(shè)定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)g（x）=

 

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Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)該函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合f[f（x）-log₂x]=3是定值，則f（x）-log₂x必為常數(shù)，否則與函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)矛盾，據(jù)此可求出f（x），再根據(jù)f（x）與g（x）互為反函數(shù)求出g（x）即可．

解答： 解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-log₂x為定值，
設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=3，可得t+log₂t=3，
可解得t=2，故f（x）=2+log₂x，
又因為f（x）與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
所以g（x）=f^-1（x）=2^x-2，x∈R．
故答案為：g（x）=2^x-2，x∈R

點評：本題概念性很強(qiáng)，在充分理解單調(diào)函數(shù)定義的基礎(chǔ)上來分析對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3定值，才能使問題獲解，對學(xué)生的能力要求很高，同時也考查了互為反函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)．