Question

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=

1

2

x2-2x，當x＞1時，不等式k（x-1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，則整數(shù)k的最大值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：k（x-1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等價于k（x-1）＜xlnx+2（x-2）+3對一切x∈（1，+∞）恒成立，分離參數(shù)，從而可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，利用導數(shù)即可求得，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：因為當x＞1時，不等式k（x-1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，
即k（x-1）＜xlnx+2（x-2）+3對一切x∈（1，+∞）恒成立，
亦即k＜

xlnx+2x-1

x-1

=

xlnx+1

x-1

+2對一切x∈（1，+∞）恒成立，
所以不等式轉(zhuǎn)化為k＜

xlnx+1

x-1

+2對任意x＞1恒成立．
設(shè)p（x）=

xlnx+1

x-1

+2，則p′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令r（x）=x-lnx-2（x＞1），則r′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0
所以r（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
因為r（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，
所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（3，4），
當1＜x＜x₀時，r（x）＜0，即p′（x）＜0；
當x＞x₀時，r（x）＞0，即p′（x）＞0．
所以函數(shù)p（x）=

xlnx+1

x-1

+2在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
又r（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，所以lnx₀=x₀-2．
所以[p（x）]_min=p（x₀）=

x0lnx0+1

x0-1

+2=

x0(x0-2)+1

x0-1

=x₀-1+2∈（4，5），
所以k＜[p（x）]_min=x₀-1+2∈（4，5）
故整數(shù)k的最大值是4． 
故答案為：4

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．