Question

已知f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，f（1）=1．
求（1）f（0）的值；
（2）解不等式f（x+

1

2

）＜f（1-x）；
（3）若f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)可得f（0）=0；
（2）由

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤1-x≤1 x+ 1 2 ＜1-x

即可求得不等式f（x+

1

2

）＜f（1-x）的解集；
（3）先求得f（x）_max=f（1）=1，將問題轉(zhuǎn)化為：t²-2at+1≥1對a∈[-1，1]恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（a）=-2ta+t²，則f（a）≥0對a∈[-1，1]恒成立，解關(guān)于t的不等式組即可．

解答：解：（1）∵f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0；…2（分）
（2）∵f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)且f（x+

1

2

）＜f（1-x），
∴

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤1-x≤1 x+ 1 2 ＜1-x

…5（分）
∴

- 3 2 ≤x≤  1 2 0≤x≤2 x＜ 1 4

…7（分）
∴0≤x＜

1

4

，
∴解集為：{x|0≤x＜

1

4

}…8（分）
（3）f（x）_max=f（1）=1…9（分）
f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]恒成立，則t²-2at+1≥1對a∈[-1，1]恒成立，…10（分）
構(gòu)造函數(shù)f（a）=-2ta+t²，則f（a）≥0對a∈[-1，1]恒成立，
∴

-2t＞0 2t+t2≥0

或

-2t＜0 -2t+t2≥ 0

或t=0…13（分）
解得：t≤-2或t=0或t≥2…14（分）

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，難點在于（3）f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]恒成立，轉(zhuǎn)化為t²-2at+1≥f（x）_max=1對a∈[-1，1]恒成立，突出考查化歸思想與綜合分析與應(yīng)用的能力，屬于難題．