Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，，，平面，為的中點(diǎn)，.

（1）求證：∥平面；

（2）求四面體的體積.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）證明直線與平面平行，一般采用以下兩種方法：法一，通過(guò)面面平行來(lái)證明線面平行；法二，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行即可.在本題中，取AD中點(diǎn)M，易證得平面平面，從而得平面；若用法二，可延長(zhǎng)DC，AB，交于N點(diǎn)，連接PN.可證得EC為的中位線，從而EC//PN；（2）首先考慮以哪一個(gè)面作為底面.由已知條件易得平面，故應(yīng)以PAC作為底面，E作為頂點(diǎn).因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面PAC的距離等于點(diǎn)C到平面PAC的距離的一半.而，這樣由三棱錐的體積公式便可求得體積.

試題解析：（1）法一： 取AD得中點(diǎn)M，連接EM，CM.則EM//PA

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031706270732445832/SYS201503170627412008725044_DA/SYS201503170627412008725044_DA.010.png">平面，平面

所以，平面， （2分）

在中，

所以，

而，所以，MC//AB． （3分）

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031706270732445832/SYS201503170627412008725044_DA/SYS201503170627412008725044_DA.018.png">平面，平面

所以，平面 （4分）

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031706270732445832/SYS201503170627412008725044_DA/SYS201503170627412008725044_DA.022.png">

所以，平面平面

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031706270732445832/SYS201503170627412008725044_DA/SYS201503170627412008725044_DA.025.png">平面，所以平面 （6分）

法二： 延長(zhǎng)DC，AB，交于N點(diǎn)，連接PN.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031706270732445832/SYS201503170627412008725044_DA/SYS201503170627412008725044_DA.028.png">

所以，C為ND的中點(diǎn)． （3分）

因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以，EC//PN

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031706270732445832/SYS201503170627412008725044_DA/SYS201503170627412008725044_DA.029.png">平面，平面，

所以平面 （6分）

2）法一：由已知條件有；AC=2AB=2，AD=2AC=4，CD= （7分）

因?yàn)椋?平面，所以， （8分）

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031706270732445832/SYS201503170627412008725044_DA/SYS201503170627412008725044_DA.035.png">，所以，平面 （10分）

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E平面PAC的距離，

所以，四面體PACE的體積 （12分）

法二：由已知條件有；AC=2AB=2，AD=2AC=4，CD=

因?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031706270732445832/SYS201503170627412008725044_DA/SYS201503170627412008725044_DA.032.png">平面，所以， （10分）

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以，四面體PACE的體積 （12分）

考點(diǎn)：1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、三棱錐的體積.