Question

等差數(shù)列{a_n}中a₅=6，a₁+a₂+a₃=9，記{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，令 b_n=a_n•a_n+1．?dāng)?shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和為T_n．（1）求a_n；
（2）求S_n；
（3）求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（3）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)公差為d．
∵a₅=6，a₁+a₂+a₃=9，
∴

a1+4d=6 3a1+3d=9

，
解得

a1=2 d=1

，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．
（2）∵a_n=n+1，
∴Sn=

n(n+3)

2

．
（3）b_n=a_n•a_n+1=（n+1）•（n+2），
∴

1

bn

=

1

(n+1)•(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

n+2

，
=

n

2(n+2)

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．