Question

已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（3）=-1，求f（x）在[2，9]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x₁=x₂，即可得到f（1）；
（2）令0＜x₁＜x₂，則0＜

x1

x2

＜1，由條件得到f（

x1

x2

）＞0，再根據(jù)條件得到f（x₁）-f（x₂）＞0，由單調(diào)性定義即可；
（3）求出f（9）=2f（3）=-2．再由單調(diào)性，即可得到最小值．

解答： 解：（1）令x₁=x₂，則f（1）=0；
（2）令0＜x₁＜x₂，則0＜

x1

x2

＜1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0，
則f（

x1

x2

）＞0，
∵f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）∵f（3）=-1，
∴f（

9

3

）=f（9）-f（3），
即f（9）=2f（3）=-2．
∵f（x）在[2，9]上遞減，
∴f（9）最小，且為-2．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，注意運(yùn)用定義證明單調(diào)性，同時(shí)考查賦值法求抽象函數(shù)值，屬于中檔題．