Question

11．（1）由0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，求其中數(shù)字0與1相鄰且數(shù)字2與3不相鄰的六位數(shù)的個(gè)數(shù)；
（2）已知在（$\sqrt{x}+\frac{1}{{2}^{4}\sqrt{x}}$）ⁿ展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求（2x+1）^n-3（x${\;}^{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{{x}^{4}}$）展開式中含x²的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用間接法，即可求解；
（2）由已知得2×$\frac{n}{2}$=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，解得n=8，即可求（2x+1）^n-3（x${\;}^{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{{x}^{4}}$）展開式中含x²的項(xiàng)．

解答 解：（1）若不考慮數(shù)字0是否在首位，有${A}_{2}^{2}$${A}_{3}^{3}$${A}_{4}^{2}$種組成方法，其中0在首位有${A}_{2}^{2}$${A}_{3}^{3}$種組成方法，
∴共有${A}_{2}^{2}$${A}_{3}^{3}$${A}_{4}^{2}$-${A}_{2}^{2}$${A}_{3}^{3}$=132個(gè)；
（2）由已知得2×$\frac{n}{2}$=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，解得n=8或n=1（舍去），
則（2x+1）^n-3（x${\;}^{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{{x}^{4}}$）=（2x+1）^8-3（x${\;}^{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{{x}^{4}}$），
∴展開式中含x²的項(xiàng)是[1+${2}^{3}•{C}_{5}^{3}•（-2）$]x²=-159x²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列知識(shí)的運(yùn)用，考查二項(xiàng)式定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．