設雙曲線的中心在原點,準線平行于x軸,離心率為,且點P(0,5)到此雙曲線上的點的最近距離為2,求雙曲線的方程.

剖析:由雙曲線中心在原點,準線平行于x軸,可設雙曲線的方程為-=1.

    由離心率為,可得a2+b2=(a)2=c2.

    由點P(0,5)到此雙曲線上的點的最近距離為2,可轉化為二次函數(shù)的最大(小)值問題來討論,得到a、b應滿足的另一關系式.從而求出a2、b2,本題得解.

解:依題意,設雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0).

    ∵e==,c2=a2+b2,

    ∴a2=4b2.

    設M(x,y)為雙曲線上任一點,則

    |PM|2=x2+(y-5)2

    =b2(-1)+(y-5)2

    =(y-4)2+5-b2(|y|≥2b).

    ①若4≥2b,則當y=4時,

    |PM|min2=5-b2=4,得b2=1,a2=4.

    從而所求雙曲線方程為-x2=1.

    ②若4<2b,則當y=2b時,

    |PM|min2=4b2-20b+25=4,

    得b=(舍去b=),b2=,a2=49.

    從而所求雙曲線方程為-=1.

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