剖析:由雙曲線中心在原點,準線平行于x軸,可設雙曲線的方程為-=1.
由離心率為,可得a2+b2=(a)2=c2.
由點P(0,5)到此雙曲線上的點的最近距離為2,可轉化為二次函數(shù)的最大(小)值問題來討論,得到a、b應滿足的另一關系式.從而求出a2、b2,本題得解.
解:依題意,設雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0).
∵e==,c2=a2+b2,
∴a2=4b2.
設M(x,y)為雙曲線上任一點,則
|PM|2=x2+(y-5)2
=b2(-1)+(y-5)2
=(y-4)2+5-b2(|y|≥2b).
①若4≥2b,則當y=4時,
|PM|min2=5-b2=4,得b2=1,a2=4.
從而所求雙曲線方程為-x2=1.
②若4<2b,則當y=2b時,
|PM|min2=4b2-20b+25=4,
得b=(舍去b=),b2=,a2=49.
從而所求雙曲線方程為-=1.
科目:高中數(shù)學 來源:2006年高考第一輪復習數(shù)學:8.2 雙曲線(解析版) 題型:解答題
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